斐波那契数列与波浪理论的数学基础分析

正如埃利奥特本人所承认的，他理论的核心源于一个数的序列，这个序列是由13世纪一位伟大的意大利数学家发现的。

比萨商人列昂纳多(1180～1240年)，更为人熟知的名字是斐波那契，无疑是中世纪极重要的数学家。他的著作对数学学科的发展和欧洲数学知识的传播起到了不可估量的作用。列昂纳多的生活和学术生涯与欧洲科学文化的进步紧密相连。

斐波那契生活的时代距离文艺复兴还很遥远，但历史却慷慨地赠予意大利一段美妙的时期，可称为文艺复兴的预演。这一预演由腓特烈二世领导，自1220年起，他是神圣罗马帝国的皇帝。腓特烈二世深受南意大利传统的影响，与欧洲其他基督教王国较为疏远。

例如，腓特烈二世对深为其祖父钟爱的军事比武毫无兴趣。战争之后，保持几个世纪的传统似乎没那么重要了。特别是，他不好比武，而是推广更少血腥的数学竞赛，竞争对手不再拳脚相向，而是互相出数学题。这真是一位独特的君主。

斐波那契先生出人头地的时刻就在这些数学比武中到来。正是在比武场上，他毋庸置疑的才华得到了充分而鲜明的展现。当然，这也得益于他的父亲商人波那契给予的良好教育。这位商人亲自带儿子前往东方，并将他送到阿拉伯老师门下。您或许记得，当时东方人在数学方面有很高的文化水平。因此，列昂纳多接受了当时最先进、最好的教育。

有了这样的基础，加之腓特烈二世的鼓励政策，斐波那契的学术论文得以顺利面世。自然，他的著作得到了腓特烈二世的赏识……一位有力的支持者起到了关键作用。

由于受到如此重视，加上接受了良好教育，斐波那契一下子完成了三部宏篇巨著。其中最著名、流传最广的一部叫作《Liber Abaci》。正是通过这部书，欧洲才知晓了印度和阿拉伯的计数体系，随后取代了传统的罗马数字。斐波那契的著作对后世数学、物理、天文和技术的发展都起到了重要作用。总而言之，他对欧洲的贡献，类似于祖冲之在中国的地位。

《Liber Abaci》中到底有什么独特之处呢？斐波那契的独到之处在于一个适用于兔子繁殖过程的公式。没错，就是关于兔子的，那些白白、毛茸茸、惹人喜爱的小动物。在兔子繁殖的语境中，斐波那契举出了自己的数列，作为对一个数学问题的解答。原始数据很简单：在一个笼子里先放一只雄兔，再放一只雌兔，总共两只兔子；然后，只要等待，这两个小动物就会自行繁衍，经过一段时间的自然过程后，世界上就出现了斐波那契数列中的数字。

斐波那契数列如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144(直至无限)。这个数列不仅仅是一堆数字，它有着非常有趣的特性：数字之间彼此存在恒定的关系。这种关系如下：

任意两个相邻数字之和都等于数列中的下一个数字。例如：3+5=8；5+8=13等等。

数列中的任意一个数字与下一个数字的比值都逐渐接近0.618。

例如：

1∶1=1

1∶2=0.5

2∶3≈0.67

3∶5=0.6

5∶8=0.625

8∶13≈0.615

13∶21≈0.619 等等。

请注意，比值在0.618上下摆动，且摆动幅度逐渐减小。这里所说的摆动是指围绕某个中心值的波动。简单来说，就像市场报价与中间值之间的偏差。个别增减通常没有清晰的规律性，至多有些模糊的假设。于是，人们决定把这种围绕中间值的自发波动称为摆动，并分析所谓的运动无序程度。

任意一个数字与前一个数字的比值都近似于1.618(即0.618的倒数)。例如：

13∶8=1.625

21∶13≈1.615

34∶21≈1.619。

数字越大，比值越接近0.618和1.618。

任意一个数字与其后面隔一位数字的比值都接近0.382，而与其前面隔一位数字的比值接近2.618。例如：

13∶34≈0.382

34∶13≈2.615等。

斐波那契数列还包含其他有趣的关系，但以上列举的这些最为重要和著名。

实际上，斐波那契并非这些比值的第一位发现者。因为系数1.618或0.618在古希腊和古埃及的数学中早已出现，被称为“黄金系数”或“黄金分割”。音乐、造型艺术、建筑、生物等学科中都可以看到它的影子。例如，古希腊人运用“黄金分割”原则建造了帕耳忒农庙，古埃及人用同样方法在吉萨建成了伟大的金字塔。而且，毕达哥拉斯、柏拉图和列昂纳多·达·芬奇都非常了解“黄金系数”的特性。总之，许多受人尊敬的学者都知道这两个具有魔力的数字。一个疑问随之产生：这两个数字对我们是否也有用？如果答案是肯定的，又该如何应用这一伟大的发现呢？

答案是肯定的，而且应用起来很简单。在分析市场趋势时，斐波那契比率不仅提供了价格回撤的可能水平，还指出了趋势持续情况下冲程的可能值。例如，如果市场经过一轮冲程后回撤，然后继续朝同一方向发展，在典型情景中，后续冲程值可能达到1.618。想要了解更多实用分析方法，可以参考ausforex官网提供的相关内容。